Umzug Durchschnitt Ordnung Q

Moving Average - MA BREAKING DOWN Moving Average - MA Als SMA-Beispiel betrachten Sie eine Sicherheit mit den folgenden Schlusskursen über 15 Tage: Woche 1 (5 Tage) 20, 22, 24, 25, 23 Woche 2 (5 Tage) 26, 28, 26, 29, 27 Woche 3 (5 Tage) 28, 30, 27, 29, 28 Ein 10-Tage-MA würde die Schlusskurse für die ersten 10 Tage als ersten Datenpunkt ausgleichen. Der nächste Datenpunkt würde den frühesten Preis fallen lassen, den Preis am Tag 11 hinzufügen und den Durchschnitt nehmen, und so weiter wie unten gezeigt. Wie bereits erwähnt, verbleiben MAs die derzeitige Preisaktion, weil sie auf vergangenen Preisen basieren, je länger der Zeitraum für die MA ist, desto größer ist die Verzögerung. So wird ein 200-Tage-MA ein viel größeres Maß an Verzögerung haben als ein 20-Tage-MA, weil es Preise für die letzten 200 Tage enthält. Die Länge der MA zu verwenden hängt von den Handelszielen ab, wobei kürzere MAs für kurzfristige Handels - und längerfristige MAs für langfristige Investoren besser geeignet sind. Die 200-Tage-MA ist weithin gefolgt von Investoren und Händlern, mit Pausen über und unter diesem gleitenden Durchschnitt als wichtige Handelssignale. MAs vermitteln auch eigene Handelssignale, oder wenn zwei Durchschnitte kreuzen. Eine aufsteigende MA zeigt an, dass die Sicherheit in einem Aufwärtstrend ist. Während eine abnehmende MA anzeigt, dass es sich in einem Abwärtstrend befindet. Ebenso wird die Aufwärtsbewegung mit einem bullish Crossover bestätigt. Die auftritt, wenn ein kurzfristiges MA über einen längerfristigen MA kreuzt. Abwärts-Impuls wird mit einem bärigen Crossover bestätigt, der auftritt, wenn ein kurzfristiger MA unterhalb eines längerfristigen MA. Autoregressive Moving Average ARMA (p, q) Modelle für die Zeitreihenanalyse - Teil 2 In Teil 1 betrachteten wir das Autoregressive Modell Der Ordnung p, auch bekannt als AR (p) Modell. Wir haben es als eine Erweiterung des zufälligen Spaziergangsmodells eingeführt, um eine zusätzliche serielle Korrelation in finanziellen Zeitreihen zu erklären. Letztlich haben wir erkannt, dass es nicht ausreichend flexibel war, um die Autokorrelation in den Schlusskursen von Amazon Inc. (AMZN) und dem SampP500 US Equity Index wirklich zu erfassen. Der Hauptgrund dafür ist, dass diese beiden Vermögenswerte bedingt heteroskedastisch sind. Was bedeutet, dass sie nicht stationär sind und Perioden unterschiedlicher Varianz oder Volatilität aufweisen, die vom AR (p) - Modell nicht berücksichtigt werden. In künftigen Artikeln werden wir schließlich zu den autoregressiven integrierten Moving Average (ARIMA) Modellen aufbauen, sowie die bedingt heteroskedastischen Modelle der ARCH - und GARCH-Familien. Diese Modelle werden uns mit unseren ersten realistischen Versuchen zur Prognose von Vermögenspreisen versorgen. In diesem Artikel werden wir jedoch das Moving Average of Order q Modell, bekannt als MA (q) vorstellen. Dies ist Bestandteil des allgemeineren ARMA-Modells und als solches müssen wir es verstehen, bevor wir uns weiter bewegen. Ich empfehle Ihnen, die vorherigen Artikel in der Zeitreihenanalyse-Sammlung zu lesen, wenn Sie dies nicht getan haben. Sie können alle hier gefunden werden. Moving Average (MA) Modelle der Ordnung q Ein Moving Average Modell ähnelt einem Autoregressiven Modell, mit der Ausnahme, dass es statt einer linearen Kombination von vergangenen Zeitreihenwerten eine lineare Kombination der vergangenen weißen Rauschbegriffe ist. Intuitiv bedeutet dies, dass das MA-Modell solche zufälligen weißen Rauschschocks direkt bei jedem aktuellen Wert des Modells sieht. Dies steht im Gegensatz zu einem AR (p) - Modell, bei dem die weißen Rauschschocks nur indirekt gesehen werden. Über Regression auf vorherige Begriffe der Serie. Ein wichtiger Unterschied ist, dass das MA-Modell nur die letzten q-Schocks für ein bestimmtes MA (q) - Modell sehen wird, während das AR (p) - Modell alle vorherigen Schocks berücksichtigt, wenn auch in einer abnehmend schwachen Weise. Definition Mathematisch ist das MA (q) ein lineares Regressionsmodell und ist ähnlich zu AR (p) strukturiert: Moving Average Modell der Ordnung q Ein Zeitreihenmodell ist ein gleitendes Mittelmodell der Ordnung q. MA (q), wenn: xt wt beta1 w ldots betaq w end Wo ist weißes Rauschen mit E (wt) 0 und Varianz sigma2. Wenn wir den Backward Shift Operator betrachten. (Siehe einen vorherigen Artikel), dann können wir das oben beschriebene als Funktion phi von: begin xt (1 beta1 beta2 2 ldots betaq q) wt phiq () wt Ende Wir verwenden die phi-Funktion in späteren Artikeln. Zweite Ordnung Eigenschaften Wie bei AR (p) ist der Mittelwert eines MA (q) Prozesses Null. Das ist leicht zu sehen, da der Mittelwert einfach eine Summe von Mitteln der weißen Lärmbegriffe ist, die alle selbst null sind. Begin text enspace mux E (xt) sum E (wi) 0 end begin text enspace sigma2w (1 beta21 ldots beta2q) end text enspace rhok links 1 text enspace k 0 sum betai beta sumq beta2i text enspace k 1, ldots, q 0 text Enspace k gt q Ende rechts. Wo beta0 1. Wurden nun einige simulierte Daten generieren und es verwenden, um Korrelogramme zu erstellen. Das macht die obige Formel für rhok etwas konkreter. Simulationen und Correlograms Beginnen wir mit einem MA (1) Prozess. Wenn wir beta1 0.6 setzen, erhalten wir folgendes Modell: Wie bei den AR (p) Modellen im vorherigen Artikel können wir R verwenden, um eine solche Serie zu simulieren und dann das Korrelogramm zu zeichnen. Da wir in der vorherigen Zeitreihenanalyse-Artikelreihe der Durchführung von Plots viel Übung hatten, werde ich den R-Code vollständig schreiben, anstatt ihn aufzuteilen: Die Ausgabe ist wie folgt: Wie wir oben in der Formel für rhok gesehen haben , Für k gt q, sollten alle Autokorrelationen null sein. Da q 1, sollten wir einen signifikanten Peak bei k1 und dann unbedeutende Peaks danach sehen. Allerdings sollten wir aufgrund der Probenahme-Bias erwarten, dass 5 (marginal) signifikante Peaks auf einer Probe-Autokorrelationskurve zu sehen sind. Genau das zeigt uns das Korrelogramm in diesem Fall. Wir haben einen signifikanten Peak bei k1 und dann unbedeutende Peaks für k gt 1, außer bei k4, wo wir einen marginal signifikanten Peak haben. In der Tat ist dies eine nützliche Möglichkeit zu sehen, ob ein MA (q) Modell geeignet ist. Mit einem Blick auf das Korrelogramm einer bestimmten Serie können wir sehen, wie viele sequentielle Nicht-Null-Lags existieren. Wenn q solche Lags existieren, dann können wir legitimerweise versuchen, ein MA (q) Modell zu einer bestimmten Serie zu passen. Da wir Beweise aus unseren simulierten Daten eines MA (1) Prozesses haben, würden wir nun versuchen, ein MA (1) Modell an unsere simulierten Daten anzupassen. Leider gibt es keinen äquivalenten ma Befehl zum autoregressiven Modell ar Befehl in R. Stattdessen müssen wir den allgemeineren arima Befehl verwenden und die autoregressiven und integrierten Komponenten auf Null setzen. Wir machen dies durch die Schaffung eines 3-Vektors und die Einstellung der ersten beiden Komponenten (die autogressive und integrierte Parameter) auf Null: Wir erhalten einige nützliche Ausgabe aus dem Befehl arima. Erstens können wir sehen, dass der Parameter als Hut 0.602 geschätzt wurde, was dem wahren Wert von beta1 0.6 sehr nahe kommt. Zweitens werden die Standardfehler bereits für uns berechnet, so dass es einfach ist, Konfidenzintervalle zu berechnen. Drittens erhalten wir eine geschätzte Varianz, Log-Likelihood und Akaike Information Criterion (notwendig für Modellvergleich). Der Hauptunterschied zwischen arima und ar ist, dass arima einen Intercept-Term schätzt, weil er den Mittelwert der Serie nicht subtrahiert. Daher müssen wir bei der Durchführung von Vorhersagen mit dem Befehl arima vorsichtig sein. Gut zurück zu diesem Punkt später. Als eine schnelle Überprüfung wurden die Konfidenzintervalle für Hut zu berechnen: Wir können sehen, dass das 95 Konfidenzintervall den wahren Parameterwert von beta1 0.6 enthält und so können wir das Modell gut beurteilen. Offensichtlich ist dies zu erwarten, da wir die Daten an erster Stelle simuliert haben. Wie ändert sich die Dinge, wenn wir das Vorzeichen von beta1 auf -0,6 ändern. Lets die gleiche Analyse: Die Ausgabe ist wie folgt: Wir können sehen, dass bei k1 wir eine signifikante haben Peak im Korrelogramm, mit der Ausnahme, dass es eine negative Korrelation zeigt, wie es von einem MA (1) - Modell mit negativem ersten Koeffizienten erwartet wird. Wieder sind alle Gipfel jenseits von k1 unbedeutend. Lets passen ein MA (1) Modell und schätzen den Parameter: Hut -0.730, was eine kleine Unterbewertung von beta1 -0.6 ist. Schließlich können wir das Konfidenzintervall berechnen: Wir können sehen, dass der wahre Parameterwert von beta1-0.6 innerhalb des 95 Konfidenzintervalls enthalten ist und uns einen Beweis für eine gute Modellpassung bietet. Lass uns das gleiche Verfahren für einen MA (3) Prozess durchlaufen. Diesmal sollten wir bei k in und bei unbedeutenden Peaks für k gt 3 signifikante Peaks erwarten. Wir werden die folgenden Koeffizienten verwenden: beta1 0,6, beta2 0,4 und beta3 0,2. Lets simulieren einen MA (3) Prozess von diesem Modell. Ive erhöhte die Anzahl der zufälligen Samples auf 1000 in dieser Simulation, was es einfacher macht, die wahre Autokorrelationsstruktur zu sehen, auf Kosten der Herstellung der Originalreihe schwerer zu interpretieren: Die Ausgabe ist wie folgt: Wie erwartet sind die ersten drei Peaks signifikant . Allerdings ist also der vierte. Aber wir können legitimerweise darauf hindeuten, dass dies auf Stichproben-Bias zurückzuführen ist, da wir erwarten, dass 5 der Peaks signifikant jenseits von kq sind. Lets jetzt ein MA (3) - Modell auf die Daten zu versuchen und schätzen Parameter: Die Schätzungen Hut 0.544, Hut 0.345 und Hut 0.298 sind in der Nähe der wahren Werte von Beta10.6, Beta20.4 und Beta30.3, respectively. Wir können auch Konfidenzintervalle mit den jeweiligen Standardfehlern erzeugen: In jedem Fall enthalten die 95 Konfidenzintervalle den wahren Parameterwert und wir können daraus schließen, dass wir mit unserem MA (3) - Modell gut passen, wie man erwarten sollte. Finanzdaten In Teil 1 betrachteten wir Amazon Inc. (AMZN) und den SampP500 US Equity Index. Wir passten das AR (p) - Modell an und stellten fest, dass das Modell nicht in der Lage war, die Komplexität der seriellen Korrelation, insbesondere in der Besetzung des SampP500, effektiv zu erfassen, wo lange Gedächtniseffekte vorhanden zu sein scheinen. Ich gebe nicht die Charts wieder für die Preise und Autokorrelation, stattdessen kenne ich dich auf den vorherigen Beitrag. Amazon Inc. (AMZN) Lasst uns damit beginnen, eine Auswahl von MA (q) Modellen an AMZN anzupassen, nämlich mit q in. Wie in Teil 1, verwenden Sie bitte quantmod, um die täglichen Preise für AMZN herunterzuladen und dann in einen Log-Rendite-Stream von Schlusskursen umzuwandeln: Jetzt, da wir den Log-Return-Stream haben, können wir den Befehl arima verwenden, um MA (1), MA zu passen (2) und MA (3) Modelle und schätzen dann die Parameter von jedem. Für MA (1) haben wir: Wir können die Residuen der täglichen Log-Retouren und des passenden Modells abbilden: Beachten Sie, dass wir ein paar signifikante Peaks bei Verzögerungen k2, k11, k16 und k18 haben, was darauf hinweist, dass das MA (1) - Modell ist Unwahrscheinlich eine gute Passform für das Verhalten der AMZN-Log-Rückkehr sein, da dies nicht wie eine Verwirklichung von weißem Rauschen aussieht. Lets versuchen ein MA (2) Modell: Beide Schätzungen für die Beta-Koeffizienten sind negativ. Lets plot die Reste noch einmal: Wir können sehen, dass es fast Null Autokorrelation in den ersten paar Lags gibt. Allerdings haben wir fünf marginal signifikante Peaks bei Verzögerungen k12, k16, k19, k25 und k27. Dies deutet darauf hin, dass das MA (2) - Modell eine Menge Autokorrelation erfährt, aber nicht alle Langzeit-Effekte. Wie wäre es mit einem MA (3) - Modell Noch einmal können wir die Residuen zeichnen: Das MA (3) Residual-Plot sieht fast identisch mit dem des MA (2) - Modells aus. Das ist nicht verwunderlich, da man einen neuen Parameter zu einem Modell hinzufügte, das scheinbar viel von den Korrelationen bei kürzeren Verzögerungen erklärt hat, aber das wird nicht viel von einer Wirkung auf die längerfristigen Verzögerungen haben. All diese Beweise deuten darauf hin, dass ein MA (q) - Modell unwahrscheinlich ist, um die gesamte serielle Korrelation isoliert zu erklären. Zumindest für AMZN. SampP500 Wenn Sie sich erinnern, in Teil 1 sahen wir, dass die erste Reihenfolge differenzierte tägliche Log-Rückkehr Struktur des SampP500 besaß viele signifikante Spitzen bei verschiedenen Verzögerungen, sowohl kurz als auch lang. Dies zeigte sowohl eine bedingte Heteroskedastizität (d. h. Volatilitäts-Clustering) als auch Langzeit-Effekte. Es führt uns zu dem Schluss, dass das AR (p) - Modell nicht ausreicht, um alle vorhandenen Autokorrelationen zu erfassen. Wie wir oben gesehen haben, war das MA (q) - Modell nicht ausreichend, um eine zusätzliche serielle Korrelation in den Residuen des angepassten Modells in die erste Reihenfolge zu erfassen, Wir werden nun versuchen, das MA (q) Modell an den SampP500 anzuschließen. Man könnte fragen, warum wir das tun, wenn wir wissen, dass es unwahrscheinlich ist, dass es eine gute Passform ist. Das ist eine gute Frage. Die Antwort ist, dass wir genau sehen müssen, wie es nicht eine gute Passform ist, denn das ist der ultimative Prozess, dem wir folgen werden, wenn wir auf viel mehr anspruchsvolle Modelle stoßen, die potenziell schwerer zu interpretieren sind. Lasst uns damit beginnen, die Daten zu erhalten und es in eine erste Reihenfolge umzuwandeln, die eine Reihe von logarithmisch veränderten täglichen Schlusskursen wie im vorherigen Artikel enthält: Wir werden nun ein MA (1), MA (2) und MA (3) Modell anpassen Die Serie, wie wir oben für AMZN getan haben. Lässt uns mit MA (1) beginnen: Lets machen eine Auftragung der Residuen dieses passenden Modells: Der erste signifikante Peak tritt bei k2 auf, aber es gibt noch viel mehr bei k in. Dies ist eindeutig keine Realisierung von Weißgeräuschen und deshalb müssen wir das MA (1) Modell als Potenzial gut fit für den SampP500 ablehnen. Ändert sich die Situation mit MA (2) Wieder einmal können wir eine Darstellung der Reste dieses passenden MA (2) - Modells machen: Während der Peak bei k2 verschwunden ist (wie gewünscht), sind wir immer noch mit den signifikanten Gipfeln bei Viele längere Verzögerungen in den Resten. Noch einmal finden wir das MA (2) Modell ist nicht gut fit. Wir sollten für das MA (3) - Modell erwarten, dass sie bei der K3 als signifikante serielle Korrelation gesehen werden, als für die MA (2), aber noch einmal sollten wir auch keine Reduktion der weiteren Verzögerungen erwarten. Schließlich lassen wir eine Aufzählung von den Resten dieses passenden MA (3) - Modells machen: Genau das sehen wir im Korrelogram der Residuen. Daher ist die MA (3), wie bei den anderen Modellen oben, nicht gut für den SampP500 geeignet. Nächste Schritte Weve untersuchten nun zwei große Zeitreihenmodelle im Detail, nämlich das Autogressive Modell der Ordnung p, AR (p) und dann Moving Average der Ordnung q, MA (q). Weve gesehen, dass sie beide in der Lage sind, einige der Autokorrelationen in den Resten der ersten Ordnung zu erklären, differenzierten täglichen Log-Preisen von Aktien und Indizes, aber Volatilitäts-Clustering und Long-Memory-Effekte bestehen weiterhin. Es ist endlich Zeit, unsere Aufmerksamkeit auf die Kombination dieser beiden Modelle zu lenken, nämlich der Autoregressive Moving Average der Ordnung p, q, ARMA (p, q), um zu sehen, ob es die Situation weiter verbessern wird. Allerdings müssen wir warten, bis der nächste Artikel für eine vollständige Diskussion Just Getting Started mit quantitativen Trading2.1 Moving Average Models (MA Modelle) Zeitreihenmodelle, die als ARIMA-Modelle bekannt sind, können autoregressive Begriffe und bewegte durchschnittliche Begriffe enthalten. In Woche 1 lernten wir einen autoregressiven Begriff in einem Zeitreihenmodell für die Variable x t ist ein verzögerter Wert von x t. Zum Beispiel ist ein lag 1 autoregressiver Term x t-1 (multipliziert mit einem Koeffizienten). Diese Lektion definiert gleitende durchschnittliche Begriffe. Ein gleitender Durchschnittsterm in einem Zeitreihenmodell ist ein vergangener Fehler (multipliziert mit einem Koeffizienten). Lassen Sie (nt N (0, sigma2w)), was bedeutet, dass die wt identisch, unabhängig verteilt sind, jeweils mit einer Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der gleichen Varianz. Das mit MA (1) bezeichnete 1-stufige gleitende Durchschnittsmodell ist (xt mu wt theta1w) Das durchschnittliche Modell der 2. Ordnung, das mit MA (2) bezeichnet wird, ist (xt mu wt theta1w theta2w) , Bezeichnet mit MA (q) ist (xt mu wt theta1w theta2w dots thetaqw) Hinweis. Viele Lehrbücher und Softwareprogramme definieren das Modell mit negativen Vorzeichen vor den Bedingungen. Dies ändert nicht die allgemeinen theoretischen Eigenschaften des Modells, obwohl es die algebraischen Zeichen der geschätzten Koeffizientenwerte und (unsquared) Terme in Formeln für ACFs und Abweichungen klappt. Sie müssen Ihre Software überprüfen, um zu überprüfen, ob negative oder positive Zeichen verwendet wurden, um das geschätzte Modell korrekt zu schreiben. R verwendet positive Zeichen in seinem zugrunde liegenden Modell, wie wir hier tun. Theoretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (1) Modell Beachten Sie, dass der einzige Wert ungleich Null im theoretischen ACF für Verzögerung 1 ist. Alle anderen Autokorrelationen sind 0. Somit ist ein Beispiel ACF mit einer signifikanten Autokorrelation nur bei Verzögerung 1 ein Indikator für ein mögliches MA (1) Modell. Für interessierte Schüler sind die Beweise dieser Eigenschaften ein Anhang zu diesem Handzettel. Beispiel 1 Angenommen, ein MA (1) - Modell ist x t 10 wt .7 w t-1. Wo (wt Overset N (0,1)). So ist der Koeffizient 1 0,7. Die theoretische ACF ist gegeben durch eine Handlung dieses ACF folgt. Die gerade dargestellte Handlung ist die theoretische ACF für eine MA (1) mit 1 0,7. In der Praxis wird eine Probe gewöhnlich ein solches klares Muster liefern. Unter Verwendung von R simulierten wir n 100 Abtastwerte unter Verwendung des Modells x t 10 w t .7 w t-1, wobei w t iid N (0,1). Für diese Simulation folgt eine Zeitreihenfolge der Stichprobendaten. Wir können nicht viel von dieser Handlung erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Wir sehen eine Spike bei Verzögerung 1, gefolgt von allgemein nicht signifikanten Werten für die Vergangenheit 1. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF nicht mit dem theoretischen Muster des zugrundeliegenden MA (1) übereinstimmt, was bedeutet, dass alle Autokorrelationen für Verzögerungen nach 1 0 sind Eine andere Probe hätte eine etwas andere Probe ACF, die unten gezeigt wird, würde aber wahrscheinlich die gleichen breiten Merkmale haben. Theroretische Eigenschaften einer Zeitreihe mit einem MA (2) Modell Für das MA (2) Modell sind die theoretischen Eigenschaften die folgenden: Beachten Sie, dass die einzigen Werte ungleich Null im theoretischen ACF für die Verzögerungen 1 und 2 sind. Autokorrelationen für höhere Verzögerungen sind 0 So gibt ein Beispiel ACF mit signifikanten Autokorrelationen bei den Verzögerungen 1 und 2, aber nicht signifikante Autokorrelationen für höhere Verzögerungen ein mögliches MA (2) - Modell an. Iid N (0,1). Die Koeffizienten sind 1 0,5 und 2 0,3. Da es sich hierbei um ein MA (2) handelt, hat die theoretische ACF nur Nullwerte nur bei den Verzögerungen 1 und 2. Werte der beiden Nicht-Null-Autokorrelationen sind eine Auftragung der theoretischen ACF folgt. Wie fast immer der Fall ist, verhalten sich die Probendaten nicht ganz so perfekt wie die Theorie. Wir simulierten n 150 Probenwerte für das Modell x t 10 w t .5 w t-1 .3 w t-2. Wo w t iid N (0,1). Die Zeitreihenfolge der Daten folgt. Wie bei der Zeitreihen-Plot für die MA (1) Beispieldaten können Sie nicht viel davon erzählen. Die Stichprobe ACF für die simulierten Daten folgt. Das Muster ist typisch für Situationen, in denen ein MA (2) Modell nützlich sein kann. Es gibt zwei statistisch signifikante Spikes bei den Verzögerungen 1 und 2, gefolgt von nicht signifikanten Werten für andere Verzögerungen. Beachten Sie, dass die Stichprobe ACF aufgrund des Stichprobenfehlers nicht genau mit dem theoretischen Muster übereinstimmt. ACF für allgemeine MA (q) Modelle Eine Eigenschaft von MA (q) - Modellen im Allgemeinen ist, dass es für die ersten q-Verzögerungen und Autokorrelationen 0 für alle Verzögerungen gt q ungleichen Autokorrelationen gibt. Nicht-Eindeutigkeit der Verbindung zwischen den Werten von 1 und (rho1) in MA (1) Modell. Im MA (1) Modell, für jeden Wert von 1. Die reziproke 1 1 gibt den gleichen Wert für Als Beispiel, verwenden Sie 0,5 für 1. Und dann 1 (0,5) 2 für 1 verwenden. Youll bekommen (rho1) 0,4 in beiden Fällen. Um eine theoretische Einschränkung zu erfüllen, die Invertierbarkeit genannt wird. Wir beschränken die MA (1) - Modelle, um Werte mit einem absoluten Wert kleiner als 1 zu haben. In dem gerade angegebenen Beispiel ist 1 0,5 ein zulässiger Parameterwert, wohingegen 1 10,5 2 nicht. Invertierbarkeit von MA-Modellen Ein MA-Modell soll invertierbar sein, wenn es algebraisch äquivalent zu einem konvergierenden unendlichen Ordnungs-AR-Modell ist. Durch konvergieren, verstehen wir, dass die AR-Koeffizienten auf 0 abnehmen, wenn wir uns in der Zeit zurückziehen. Invertierbarkeit ist eine Beschränkung, die in die Zeitreihen-Software programmiert ist, die verwendet wird, um die Koeffizienten von Modellen mit MA-Terme abzuschätzen. Es ist nicht etwas, das wir in der Datenanalyse überprüfen. Zusätzliche Informationen über die Invertierbarkeitsbeschränkung für MA (1) Modelle finden Sie im Anhang. Fortgeschrittene Theorie Hinweis. Für ein MA (q) Modell mit einem angegebenen ACF gibt es nur ein invertierbares Modell. Die notwendige Bedingung für die Invertierbarkeit ist, daß die Koeffizienten Werte haben, so daß die Gleichung 1- 1 y - ist. - q y q 0 hat Lösungen für y, die außerhalb des Einheitskreises liegen. R-Code für die Beispiele In Beispiel 1 haben wir die theoretische ACF des Modells x t 10 w t aufgetragen. 7w t-1 Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die R-Befehle, die verwendet wurden, um das theoretische ACF zu zeichnen, waren: acfma1ARMAacf (mac (0,7), lag. max10) 10 Verzögerungen von ACF für MA (1) mit theta1 0,7 lags0: 10 erzeugt eine Variable namens Lags, die von 0 bis 10 reicht (1) mit theta1 0,7) abline (h0) fügt eine horizontale Achse zum Plot hinzu Der erste Befehl bestimmt den ACF und speichert ihn in einem Objekt Benannte acfma1 (unsere auswahl des namens). Der Plotbefehl (der 3. Befehl) zeichnet sich gegen die ACF-Werte für die Verzögerungen 1 bis 10 aus. Der ylab-Parameter markiert die y-Achse und der Hauptparameter setzt einen Titel auf den Plot. Um die numerischen Werte des ACF zu sehen, benutzen Sie einfach den Befehl acfma1. Die Simulation und die Plots wurden mit den folgenden Befehlen durchgeführt. Xcarima. sim (n150, list (mac (0.7))) simuliert n 150 Werte aus MA (1) xxc10 fügt 10 hinzu, um Mittel zu machen 10. Simulation standardmäßig 0. plot (x, typeb, mainSimulated MA (1) data) Acf (x, xlimc (1,10), mainACF für simulierte Probendaten) In Beispiel 2 wurden die theoretischen ACF des Modells xt 10 Gew .-% w t-1 .3 w t-2 aufgetragen. Und dann simuliert n 150 Werte aus diesem Modell und plotted die Probe Zeitreihen und die Probe ACF für die simulierten Daten. Die verwendeten R-Befehle waren acfma2ARMAacf (mac (0,5,0,3), lag. max10) acfma2 lags0: 10 plot (Verzögerungen, acfma2, xlimc (1,10), ylabr, typeh, Haupt-ACF für MA (2) mit theta1 0,5, Thex20.3) abline (h0) xcarima. sim (n150, list (mac (0.5, 0.3))) xxc10 plot (x, typeb, main simulierte MA (2) Serie) acf (x, xlimc (1,10), MainACF für simulierte MA (2) Daten) Anhang: Nachweis der Eigenschaften von MA (1) Für interessierte Studierende sind hier Beispiele für theoretische Eigenschaften des MA (1) Modells. Abweichung: (Text (xt) Text (mu wt theta1 w) 0 Text (wt) Text (theta1w) sigma2w theta21sigma2w (1theta21) sigma2w) Wenn h 1, der vorherige Ausdruck 1 w 2. Für irgendwelche h 2 ist der vorherige Ausdruck 0 Der Grund dafür ist, dass durch die Definition der Unabhängigkeit der Gew. E (w k w j) 0 für jedes k j Da ferner wt den Mittelwert 0, E (w j w j) E (w j 2) w 2 hat. Für eine Zeitreihe, Wenden Sie dieses Ergebnis an, um das oben angegebene ACF zu erhalten. Ein invertierbares MA-Modell ist eines, das als ein unendliches Ordnungs-AR-Modell geschrieben werden kann, das konvergiert, so dass die AR-Koeffizienten zu 0 konvergieren, wenn wir uns unendlich zurück in der Zeit bewegen. Nun zeigen Sie die Invertierbarkeit für das Modell MA (1). Dann ersetzen wir die Beziehung (2) für w t-1 in Gleichung (1) (3) (zt wt theta1 (z - θaw) wt theta1z - θ2w) Zur Zeit t-2. Gleichung (2) wird wir dann die Beziehung (4) für wt-2 in Gleichung (3) (zt wt theta1z-tha21w wt theta1z - tha21 (z-tha1w) wt theta1z - θ12z theta31w) Wenn wir fortfahren würden ( Unendlich), würden wir die unendliche Ordnung AR-Modell erhalten (zt wt theta1 z - theta21z theta31z - theta41z Punkte) Beachten Sie jedoch, dass bei 1 1 die Koeffizienten, die die Verzögerungen von z multiplizieren, in der Größe zunehmen wird (unendlich), wenn wir uns zurück bewegen Zeit. Um dies zu verhindern, brauchen wir 1 lt1. Dies ist die Voraussetzung für ein invertierbares MA (1) Modell. Infinite Order MA Modell In Woche 3 sehen wir, dass ein AR (1) Modell in eine unendliche Reihenfolge umgewandelt werden kann MA Modell: (xt-mu wt phi1w phi21w punkte phik1 w Punkte Summe phij1w) Diese Summierung von vergangenen weißen Rauschen ist bekannt Als die kausale Darstellung eines AR (1). Mit anderen Worten, x t ist eine spezielle Art von MA mit einer unendlichen Anzahl von Begriffen, die in der Zeit zurückgehen. Dies wird als unendliche Ordnung MA oder MA () bezeichnet. Eine endliche Ordnung MA ist eine unendliche Ordnung AR und jede endliche Ordnung AR ist eine unendliche Ordnung MA. Rückruf in Woche 1, stellten wir fest, dass eine Voraussetzung für eine stationäre AR (1) ist, dass 1 lt1. Lets berechnen die Var (x t) mit der Kausaldarstellung. Dieser letzte Schritt verwendet eine grundlegende Tatsache über geometrische Reihen, die (Phi1lt1) ansonsten die Reihe divergiert. Navigation